三维空间中两线段交点坐标如何求解？

三维空间线段交点坐标详解

为了解决三维空间中两条线段的交点坐标，需要分为两步：首先判断两条线段的直线是否相交，然后判断交点是否落在两条线段上。

步骤1：直线相交性判断

A(x1，已知线段AB端点坐标， y1, z1)，B(x2, y2, Z2)线段CD端点坐标C(x3， y3, z3)，D(x4, y4, z4)。我们可以用向量法来判断直线AB和CD是否相交。

构建向量$ec{AB} = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)$，$ec{AC} = (x3-x1, y3-y1, z3-z1)$，$ec{AD} = (x4-x1, y4-y1, z4-z1)$。$ec{AB}$，$ec{AC}$，$ec{AD}$如果线性相关，则直线AB和CD相交。这可以通过计算这三个向量的混合积来判断：如果混合积为零，则三向量共面，直线相交。

更准确的方法是使用参数方程：

直线AB: $P = A + tec{AB} = (x1 + t(x2-x1), y1 + t(y2-y1), z1 + t(z2-z1))$ (0 ≤ t ≤ 1) 直线CD: $P = C + sec{CD} = (x3 + s(x4-x3), y3 + s(y4-y3), z3 + s(y4-y3))$ (0 ≤ s ≤ 1)

如果两条直线相交，则参数s和t使两条直线的参数方程相等。我们可以列出三个方程组来解决s和t。

步骤2：在线段判断交点

在解决s和t之后，我们需要判断它们是否在区间[0， 1]内部。如果s和t都位于[0， 1]区间，交点位于线段AB和CD上，即两线段的交点。否则，两线段不会相交。

总结

通过上述步骤，求解s和t，并验证其范围，可以确定两条线段是否相交，以及交点坐标。 在实际计算中，由于浮点数精度的限制，需要设置容差来判断近似相等。 需要注意的是，如果两条线段重叠，上述方法可能无法准确判断交点。

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