曲线积分变量代换难题：如何巧妙地用三角函数换元解决 $int_0^1 rac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$？

巧解曲线积分变量代替难题

本文将详细分析曲线积分计算中的变量替换问题，并回答如何有效地解决积分 $\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$。 许多学生试图使用极坐标变换，但没有得到正确的结果。本文将揭示其关键在于巧妙的三角函数替换。

核心问题是简化积分 $\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$。解决方案不是使用复杂的极坐标变换，而是使用简单的三角函数替换方法。

关键步骤是设置 $y = \sin t$。因为积分区间是 $y \in (0, 1)$，则 $t$ 对应的区间是 $(0, \frac{\pi}{2}$sin t$ 和 $\cos t$ 均为正值。

换元后，积分式变为：

$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 t}{\sqrt{1-\sin^2 t}} d(\sin t)$

由于 $d(\sin t) = \cos t dt$ 且 $\sqrt{1-\sin^2 t} = \cos t$ (当 $t \in (0, \frac{\pi}{2})$ 时间)，积分类型可以简化为:

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 t}{\cos t} \cos t dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t dt$

通过这种巧妙的换元，我们成功地消除了根式，大大简化了积分计算。 这不是一个极坐标变换，而是一个简单的三角函数替换，其核心是选择合适的换元变量，准确确定相应的积分范围。

以上是曲线积分变量替换的问题：如何巧妙地用三角函数换元来解决 $int_0^1 rac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$？详情请关注图灵教育的其他相关文章！