曲线积分难题：如何巧妙换元求解 $int_0^1 rac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$？

详细说明曲线积分的求解步骤

本文将详细回答曲线积分的计算问题，其核心是一个巧妙的换元积分步骤。主题给出了一个固定的积分：$int_0^1 rac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$，并希望了解计算过程中的关键步骤是如何推导出来的。

在问题中，提问者试图使用极坐标进行计算，但未能得到正确的结果。事实上，这里不需要使用极坐标转换。答案的关键在于一种简单的元素交换方法。

可以选择 $y = sin(t)$ 作为换元。当 $y$ 从 0 变到 1 时，$t$ 则从 0 变到 $rac{pi}{2}$。 需要注意的是，在这个范围内 $[0, rac{pi}{2}]$ 内，$sin(t)$ 和 $cos(t)$ 都是非负的，所以 $sqrt{cos^2 t} = cos t$。

接下来，我们将一步一步地进行换元：

首先，将 $y = sin(t)$ 代入积分式：

$int_0^1 rac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$

替换 $y$ 和 $dy$：

$int_0^{rac{pi}{2}}rac{sin^2t}{sqrt{1-sin^2t}}dsin t$

采用三角恒等式 $1 - sin^2 t = cos^2 t$，并考虑在积分范围内 $cos t$ 为正，可以简化为：

$int_0^{rac{pi}{2}}rac{sin^2t}{sqrt{cos^2t}}cos tdt$

最终简化得到：

$int_0^{rac{pi}{2}}sin^2tdt$

这个积分公式相对容易计算。 到目前为止，我们已经完成了从原点到最终点的推导过程，解决了提问者对换元步骤的疑问。

以上是曲线积分问题：如何巧妙地改变要求 $int_0^1 rac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$？详情请关注图灵教育的其他相关文章！