曲线积分变量替换：如何巧妙地将$int_0^1 rac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$转化为$int_0^{rac{pi}{2}}sin^2tdt$？

曲线积分变量替换技巧详细说明

在计算曲线积分时，巧妙的变量替换通常可以显著简化计算过程。本文将详细解释如何通过一个例子来解释积分$int_0^1 rac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$转化为$int_0^{rac{pi}{2}}sin^2tdt$。

问题： 如何替换变量，如何替换积分？$int_0^1 rac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$转化为$int_0^{rac{pi}{2}}sin^2tdt$? 直接使用极坐标替换并不能得到正确的结果。

解答： 这不是极坐标变换，而是简单的三角形替换方法。关键是选择合适的替换变量。

观察被积函数$rac{y^2}{sqrt{1-y^2}$，注意到分母中$1-y^2美元与三角恒等式$sin^2t + cos^2t = 1$ 类似。因此，我们选择替换变量$y = sin t$。

因为积分区间是$y in (0, 1)$，对应$t$的区间为$t in (0, rac{pi}{2}$。$sin t$和$cos t$均为正数。

更换后，有：

$int_0^1 rac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy = int_0^{rac{pi}{2}} rac{sin^2t}{sqrt{1-sin^2t}} d(sin t)$

由于$d(sin t) = cos t dt$，且$sqrt{1-sin^2t} = cos t$ (在$t in (0, rac{pi}{2})$时，上式可以简化为：

$int_0^{rac{pi}{2}} rac{sin^2t}{cos t} cos t dt = int_0^{rac{pi}{2}} sin^2t dt$

这样就完成了积分的转换。 关键在于正确的计算$d(sin t)$并采用三角恒等式简化表达式。 选择$y = sin t$ 替换是基于对被积函数形式的观察和三角恒等式的应用。

以上是曲线积分变量替换：如何巧妙地替换曲线积分变量$int_0^1 rac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$转化为$int_0^{rac{pi}{2}}sin^2tdt$？详情请关注图灵教育的其他相关文章！